Dwa paradoksy prawdopodobieństwa

To przecież oczywista oczywistość… :)

Prowadzacy tak defacto nie pyta czy chcesz wybrac druga bramke, tylko czy chcesz wybrac pozostale bramki ;-) Jesli pytanie zada nam przed odslonieciem bramki, jest to pytanie chcesz zostac przy jednej swojej bramce, czy bierzesz dwie pozostale. Jedna z nich jest pusta, ale to nie zmienia faktu ze zamiast jednej z trzech bierzemy dwie z trzech. Jesli bramek nie byloby 3 a 10 i po odslonieciu 8 prowadzacy zapytalby czy chcemy wybrac ta druga zaslonieta plus 8 juz odslonietych. Wiec przy zmianie decyzji mamy 90% szans. Gdy jest 100 bramek przy podtrzymaniu decyzji przegrywamy tylko w 1% przypadkow :) To ze pytanie jest po odslonieciu bramki a nie przed nie ma znaczenia :)

Jesli chodzi o drugi przypadek to bledy w rozumowaniu najczesciej wynikaja z blednego wyluskania lub ignorowania informacji o tym czy zdarzenia sa zalezne/niezalezne. Czysto matematycznie, jesli zalozymy, ze nie wiemy czy dane zdarzenia sa zalezne lub niezalezne to przy wylosowaniu kilkadziesiat razy pod rzad tego samego koloru prawdopodobienstwo, ze zdarzenia sa zalezne jest wielokrotnie wieksze od prawdopodobienstwa, ze zdarzenia nie maja ze soba zadnego zwiazku. Jesli nie mamy zadnych informacji na temat zwiazkow miedzy zdarzeniami to na podstawie duzego prawdopodobienstwa uznajemy je za zalezne co powoduje, ze wystapienie kolejny raz tego samego koloru jest bardzo wysoko prawdopodobne.
Kluczem do rozwiazania tego problemu jest ustalenie zwiazkow miedzy zdarzeniami losowymi, nawet jesli (w skrajnym przypadku) nie istnieja :)

Niezwykle ciekawa notka, oby więcej takich ;)

Druga sprawa dotyczy tak naprawdę błędneg zrozumienia nie prawdopodobieństwa, a konkretnego przypadku.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucę 2 razy pod rząd orła?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucę orła, jeśli już raz go wyrzuciłem.

Teraz już takie mylące nie jest.

Była taka fajna zagadka, ale nie pamiętam jej dokładnie. Mam nadzieję, że nic nie pomyliłem :) :

Mam dwoje dzieci. Jedno z nich jest chłopcem. Jaka jest szansa, że mam dwóch synów?

@Kamil: To, że pytanie jest po odsłonięciu bramki jak najbardziej ma znaczenie, bo – jak słusznie zauważyłeś – gdyby zostało zadane wcześniej, musiało by brzmieć: “Czy chcesz się zamienić na pozostałe bramki?”, aby efekt był ten sam :) Rzeczywiście można więc na to spojrzeć tak, że odsłonięcie bramki ukrywa to, o co naprawdę gracz jest pytany:

@I: Zapewne to co mówisz o “prawdopodobnej zależności” zdarzeń dałoby się nawet ująć liczbowo. Rzecz w tym, że o ile hipoteza o zależności może być uprawniona, jeśli nic nie wiemy (i widzimy długi ciąg tych samych wyników próby), to w przypadku ww. przykładów doskonale wiadomo, że poszczególne próby są rzeczywiście niezależne. A poza tym druga możliwa hipoteza jest też taka, że prawdopodobieństwo tego konkretnego wyniku w pojedynczej próbie jest po prostu wysokie :)

@Kos: Przy uwzględnieniu wiedzy w pytaniu i tylko jej: 50%.

@Xion (odpowiedź na koment Kosa): nieprawda. Nieco poniżej 50% (jakieś 49.2%).

“Jeśli w grze X potwór Y wyrzuca przedmiot Z z prawdopodobieństwem 1/n, to jak dużo potworów Y powinienem zabić, aby być prawie pewien, że wypadnie mi z nich przedmiot Z?”

Tak, ale wartość oczekiwana ilości przedmiotów “Z” w moim ekwipunku po zabiciu n potworów Y wynosi 1, i to jest dość satysfakcjonujące, nie sądzisz? :)

Nigdy tego za bardzo nie kumałem w szkole. Jestem pod wrażeniem tego co tutaj mówicie, bo od czasów szkolnych jak widzę nic się nie zmieniło, dalej nic nie rozumiem.

Ale jeśli chodzi o pierwszy przypadek to pewnie w sytuacji jednej odsłoniętej bramki i dwóch nieodsłoniętych, starałbym się i tak obserwować grę słów pana Zygmunta, żeby stwierdzić jak bardzo zależy mu na mojej wygranej, żeby podsycić publiczność, czy mojej przegranej, żeby wzbudzić w nich nadzieję na ich własną wygraną i tutaj by trzeba było obliczyć prawdopodobieństwo czy jego gra słów ma mi pomóc wygrać czy przegrać.
Zapewne po programie i tak próbowałby mi spylić proszek do prania.

@Aithne: Tęsknie za wyjaśnieniem. Od razu zaznaczam, że kwestie takie jak wiedza o statystycznym rozkładzie płci w populacji się nie liczą, bo wyraźnie zaznaczyłem, że uwzględniamy wyłącznie informacje zawarte w samym zadaniu Kosa.

@Liosan: Niestety wariancja wynosi wtedy (n-1)/n, czyli prawie 1, więc ta wartość oczekiwana ma duże szanse nie być doczekaną ;]

Jeśli patrzymy tylko na to, co napisał Kos, to nawet nie wiemy ile jest różnych płci :>

Argh. Znowu puściłam koment przed myśleniem. Ale niech ci będzie, w końcu kto się tam czepia w takich rzeczach o jakiś niecały procent

“to w przypadku ww. przykładów doskonale wiadomo”
Xion: wlasnie na tym polega blad, ze ignorujemy pewnie bardzo isotne informacje, gdyz wydaja sie nie miec wiekszej wagi. Niestety w rachunku prawdopodobienstwa jest tak, ze czasami nawet bardzo malo informacja moze drastycznie wplynac na wynik. Myslac intuicyjnie/podswiadomie (i malo scisle) czesto operujemy na bardziej ogolnych modelach, czyli takich ktore posiadaja pewien ubytek informacji (liczac na uzyskanie jakiegos przyblizenia).

“A poza tym druga możliwa hipoteza…”
tak, ten przypadek wraz z wymienionym wczesniej daja bardziej ogolna postac problemu, czyli to o czym pisalem wyzej — ignorowanie informacji np. takich ktore w jakis sposob modyfikuja prawdopodobienstwo jednego zdarzenia losowego.

Wszystko dla mnie jest jasne i oczywiste, jednak nie zgodzę się z przykładem ze smokami. Co to znaczy “prawie pewien”?

“Prawie” jest tu użyte w znaczeniu potocznym (i bynajmniej nie tym z reklamy piwa ;]). Mówimy więc o małym marginesie błędu; jak sądzę, większość ludzi określiłaby przedział do 5% jako mały.

Bardziej ścisłe sformułowanie pytania odnosiłoby się więc do ilości potworów, które trzeba zabić, by mieć przynajmniej 95% szansy, że wypadnie nam poszukiwany przedmiot.

Nie działa to, gdy smoków jest od 1 do 19.

nie ma żadnego paradoksu i matematycy nie mają z tym żadnego problemu. po za tym prawdopodobieństwo wcale nie wzrasta z 1/3 do 2/3 tylko maleje do 1/6.
jest to tylko paradoks “wioskowego filozofa” który szanse trafienia rozpatruje w innym momencie niż zdarzenie…
dalej też nie ma żadnego paradoksu – odsyłam do rozkładu prawdopodobieństwa i statystyki.

Jeszcze odnośnie zagadki Kosa: jest w niej językowa nieścisłość, która wpływa na wynik. Jeśli traktujemy dzieci jako parę nieuporządkowaną, wynikiem jest istotnie 1/2, ale jeśli uporządkowaną – 1/3.