W matematyce jest odwrotnie

2009-10-19 23:53

Współrzędne biegunoweW pewnych sprawach kiedyś występowała alternatywa dwóch równoważnych możliwości i trzeba było w końcu zdecydować się na wybór jednej z nich. Matematycy często ustalają w ten sposób coś “dla porządku” lub dla tzw. ustalenia uwagi. Jak na ironię zauważyłem jednak, że zwykle to właśnie w matematyce niektóre powszechnie obowiązujące umowy wcale nie wprowadzają porządku, gdyż są dokładnie odwrotne względem intuicji lub codziennego doświadczenia. Oto przykłady:

  • Kąty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie – ze szczególnym uwzględnieniem współrzędnych biegunowych – są tak określone, że większe ich wartości oznaczają coraz większe przesunięcie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
  • Tzw. główna przekątna macierzy przy jej zwykłej reprezentacji tablicowej obejmuje komórki od lewego górnego do prawego dolnego rogu. Linia, która jest pochylona w ten sposób, przypomina znak backslash :)
  • Wykres funkcji wypukłej
    Ta funkcja jest wypukła :)

    Funkcje rzeczywiste nazywane wypukłymi narysowane w postaci wykresu przyjmują postać krzywej wygiętej do dołu, co sugeruje nazywać je raczej… wklęsłymi (obrazuje to rysunek po prawej).

  • Tradycyjnie wektory w matematyce zapisuje się jako kolumnowe (czyli macierze n \times 1), a nie wierszowe (1 \times n). To niby nic specjalnego, ale skutek “uboczny” jest taki, że macierze przekształceń (obrotu, translacji, itp.) w stosunku do takich wektorów należy aplikować w kolejności odwrotnej względem rzeczywistej kolejności transformacji, którą chcemy uzyskać (kiedyś już pisałem więcej na ten temat).

Na pewno nie są to wszystkie przypadki podobnych “niefortunnych” rozstrzygnięć; z pewnością dałoby się znaleźć ich więcej. Na pewno też każdy z nich daje się w zadowalający sposób uzasadnić (jak chociażby przekątną macierzy – jest ona po prostu definiowana przez te komórki, których numer wiersza jest równy numerowi kolumny). I paradoksalnie to właśnie jest w nich najgorsze: nie da się z nimi nic zrobić, jak tylko zwyczajnie zapamiętać :)

Tags: , ,
Author: Xion, posted under Math »


7 comments for post “W matematyce jest odwrotnie”.
  1. Sobol:
    October 20th, 2009 o 10:44

    Co do funkcji wypukłych to ja pamiętam definicję w stylu “funkcja której nadgrafik lub podgrafik jest zbiorem wypukłym jest funkcją wypukłą”, z tego wynika, że nie ważne w którą stronę jest wygięta, ważne, żeby nie była “powykręcana” :P Ale może coś pokręciłem.

  2. Agares:
    October 20th, 2009 o 15:58

    Jak dla mnie to jeszcze x^0 = 1 jest nielogiczne ;]. Moim skromnym zdaniem bardziej pasuje tu 0.

  3. Xion:
    October 20th, 2009 o 16:59

    W przypadku x^{0} ciężko mówić o jakiejś umowie polegającej na wyborze między dwiema (przynajmniej “na oko”) równoprawnymi możliwościami. x^0 = 0 odpada z tego prostego powodu, że przy takim ‘założeniu’ funkcje wykładnicze stałyby się natychmiast nieciągłe w punkcie 0, bo przecież:

    \lim\limits_{a \to 0} x^{a} = 1

    Oczywiście znaczy to też, że przestałyby być różniczkowalne. A niestety gdy np. pochodna e^{x} nie jest równa e^{x}, to cały rachunek różniczkowy i całkowy diabli biorą :) Przy tym coś takiego jak zmiana sposobu numeracji wiersz/kolumn macierzy (żeby główna przekątna szła inaczej) to infinitezymalny pikuś ;-)

  4. RedHot:
    October 21st, 2009 o 21:47

    Xion.

    Przyczyna wypukłości leży o wiele głębiej. W naszym pięknym nadwiślańskim kraju wszystko jest na opak względem innych krajów. Nawet nazewnictwo matematyczne.

    Tutaj jest figura concave (wklęsła)
    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Concave_function.svg/745px-Concave_function.svg.png
    , my zwiemy ją wypukłą. I powiem szczerze, że jeżeli nie ulegniemy praniu mózgu, to naturalnie człowiek sam – intuicyjnie – przyporządkowałby odpowiednie nazwy.

    A co do 0, to radze sobie przeanalizować :
    http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.number.to.0power.html

  5. Xion:
    October 21st, 2009 o 22:17

    Funkcja, któej obrazek wkleiłeś jest jak najbardziej wklęsła również w Polsce. Wypukłą jest ta, której obrazek jest w notce. Zresztą sprawdź sam, porównując te linki:

    http://pl.wikipedia.org/wiki/Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji
    http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
    http://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function

    ‘convex’ znaczy wypukły, a ‘concave’ wklesły. Więc nazewnictwo polskie i angielskie jest identyczne.

  6. :::
    October 24th, 2009 o 22:25

    x^0 = x^(-1 + 1) = x^-1 * x^1 = 1/x * x = 1

  7. Alisa Mcmillan:
    January 4th, 2012 o 12:16

    Yes it’s true that in mathematics, opposite is true. The site provides explanation about it. I already know some info on the topic but I was have gained more knowledge from what you’ve written.

Comments are disabled.
 


© 2017 Karol Kuczmarski "Xion". Layout by Urszulka. Powered by WordPress with QuickLaTeX.com.