Niekończące się liczby

Nieskończoność jest jednym z tych pojęć matematycznych, które z samej natury nie dają się odnieść do codziennego życia. W informatyce chyba najbliższym do niej odniesieniem jest nieskończona pętla – czyli taka, której warunek stopu nigdy nie będzie prawdziwy. Wiadomo jednak, że w rzeczywistości ową pętlę prędzej czy później przerwie jeśli nie debugujący kod programista, to jakiekolwiek inne zdarzenie z gatunku losowych, z brakiem prądu włącznie.
Dlatego też intuicyjne pojmowanie tego pojęcia często bywa nieadekwatne do jego faktycznego, matematycznego znaczenia. Można się było o tym przekonać niedawno za sprawą pewnego wątku na forum Warsztatu.

Dotyczył on pewnego matematycznego faktu – iż liczba 0,(9) równa się po prostu 1. Zapis 0,(9) oznacza tutaj – zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją – ciąg 0,999… nieskończonej liczby dziewiątek w rozwinięciu dziesiętnym liczby.
Powyższa równość bywa często kwestionowana przez osoby niezbyt dobrze zaznajomione z bardziej abstrakcyjnymi koncepcjami matematycznymi, jak chociażby granice, szeregi czy własności zbioru liczb rzeczywistych. “Intuicyjnie” – aczkolwiek zupełnie błędnie – może się wydawać, że 0,(9) nie jest równe jeden, a jest jedynie liczbą bardzo, bardzo jej bliską. Najlepiej tak bliską, że już żadnej bliższej być nie może.

To oczywiście jest kompletną bzdurą, bo taka liczba nie istnieje. Jedną z najważniejszych cech liczb rzeczywistych jest właśnie to, że:

czyli że dla dowolnych dwóch takich liczb zawsze da się znaleźć trzecią, dającą się “włożyć” między nimi. Co więcej, takich pośrednich wartości jest całkiem sporo, bo dokładnie tyle samo co w całym zbiorze – nieskończenie wiele.
I tu właśnie już wyraźnie pojawia się nieskończoność, która – jak sądzę – jest głównym “winowajcą” stwierdzeń, że jakoby . Gdy spotykamy się z nim, dość naturalną reakcją jest bowiem zapytanie, ile wobec tego wynosi różnica . Następująca dalej próba zapisania rzekomej “liczby tak bliskiej zera, że już bliższej nie ma” kończy się następnie wyprodukowaniem potworka w rodzaju 0,(0)1. W założeniu ma być on odczytywany jako liczba, która w zapisie dziesiętnym ma nieskończoną liczbę zer, po których następuje jedna jedynka…

Chwila! Jak w ogóle coś może występować na końcu nieskończonego ciągu?!… Ano właśnie – tutaj następuje efektowna logiczna sprzeczność, która ładnie dowodzi nieprawidłowości założenia (czyli nieszczęsnej równości ). Pokazuje też, że mamy tu w gruncie rzeczy do czynienia z nierozumieniem pojęcia tzw. nieskończoności potencjalnej, czyli najprostszego ujęcia idei nieskończoności: jako takiej ilości, która jest większa od każdej, dowolnie dużej skończonej liczby.
A to przecież nie wszystko, co matematyka na temat nieskończoności ma do powiedzenia. Wręcz przeciwnie – to dopiero marny wycinek, jako że teoria zbiorów przekonuje nas, że tak naprawdę rodzajów nieskończoności jest… nieskończenie wiele :) Uff, jak dobrze, że w informatyce wszystko, na czym się w praktyce operuje jest z założenia skończone i możliwe do policzenia… A jeśli nawet nie, to przecież zawsze można się ograniczyć do jakiegoś ograniczonego z góry zbioru wartości, które wspieramy. Tak jak pewien protokół używany do routowania, dla którego nieskończoną liczbą jest już… 16 :]