mi pu facki fi la lojban.

Przeglądanie Wikipedii może mieć jeden ciekawy efekt uboczny. Otóż wystarczy kliknąć jeden lub dwa linki “w złym kierunku” i już lądujemy w obszarze wiedzy znajdującym się kilometry od tego, z którego zaczynaliśmy. To ma swoje wady (bardzo, bardzo łatwo jest stracić mnóstwo czasu na niezupełnie pożyteczne lektury – co obrazowo pokazuje jeden z komiksów na xkcd), ale ma i jedną podstawową zaletę: można przy okazji odkryć coś ciekawego.

Znalezisko, na jakie natrafiłem ostatnio, to dość nietypowy język. I bynajmniej nie mam tu wcale na myśli języka programowania; chodzi tu jak najbardziej o język naturalny (chociaż pewnie niektórym to określenie będzie się wydawało nadużyciem…).
Delikwent nazywa się lojban (wym. lożban) i należy do klasy tzw. języków logicznych. Zanim wyjaśnię, co w nim jest takiego nietypowego, wspomnę o tym, czego w nim nie ma. Liczby pojedynczej i mnogiej, odmiany wyrazów, czasów, podziału na rodzaje gramatyczne, jak również interpunkcji i ortografii, a nawet… tradycyjnych części mowy (czasowniki, przymiotniki, itp.) – tego wszystkiego w nim nie ma i nie jest to brak specjalnie zauważalny. Wręcz przeciwnie: lojban ma – przynajmniej częściowo dzięki temu – niezaprzeczalne zalety:

• jest jednoznaczny pod względem gramatyki, tzn. zawsze można dokładnie powiedzieć, co dana wypowiedź znaczy
• jest jednoznaczny pod względem sposobu zapisu słów (czyli ortografii), który jest fonetyczny (zgodny z wymową)
• jest regularny – od jego zasad nie ma żadnych wyjątków

Wszystko to brzmi całkiem obiecująco. Teraz jednak nasuwa się pewnie pytanie: skoro w tym języku tylu rzeczy nie ma, to co tak naprawdę w nim jest?…

Już spieszę z odpowiedzią. Zdania w lojbanie (zwane bridi) wyrażają mianowicie pewne relacje między pojęciami. Związki te nazywamy selbri i mogą one odpowiadać zarówno czasownikom, jak i przymiotnikom czy nawet rzeczownikom (wtedy są to relacje ‘bycia czymś’) z “normalnych” języków. Z kolei argumenty dla tych relacji nazywają się sumti. Mówiąc o lojbanie używa się powszechnie tych, jak i kilku innych terminów.
W tym momencie jest doskonały czas na przykład – a jakim lepszym zdaniem przykładowym można się posłużyć niż tradycyjne “Ala ma kota.”? Proszę bardzo, oto jego odpowiednik w lojbanie:

la alas. ponse le mlatu

Kropka nie oznacza tu końca zdania, ale krótką przerwę w wypowiedzi na końcu nazwy własnej (którą jest bez wątpienia ‘Ala’). Poprzedzające ją ’s’ jest wymogiem gramatyki: wszystkie nazwy (cmene, wym. szmene) w lojbanie muszą kończyć się spółgłoską. ponse, jak nietrudno się domyślić, oznacza “mieć”, tj. relację posiadania czegoś przez coś/kogoś. A le mlatu to “coś, co zwiemy kotem”. Czemu nie po prostu “kot”? Ano dlatego, że pod tym słowem może się kryć wiele różnych osobników, a nam chodzi o pewnego, ale konkretnego kota. To między innymi z takich konstrukcji – na początek niezbyt może intuicyjnych – bierze się jednoznaczność lojbanu.

Oczywiście ponse i mlatu to nie jedyne słowa, mogące służyć jako selbri. Są one tylko dwoma z około 1300 podstawowych wyrazów tego typu (nazywanych gismu), które mogą być łączone na wiele sposobów w celu otrzymywania bardziej złożonych znaczeń. Wspominany kot Ali może być na przykład biały i wtedy możemy go określić jako le blabi mlatu. Tak swoją drogą, jeśli ktoś się zastanawia, skąd właściwie wzięły się te wszystkie słowa, to spieszę z odpowiedzią, iż zostały one wygenerowane algorytmicznie z odpowiednich wyrazów w którychś z sześciu najpopularniejszych językach świata: chińskim, angielskim, hiszpańskim, hinduskim, arabskim i rosyjskim.
Ważną cechą lojbanu jest też to, że selbri mają w nim określoną strukturę związaną z położeniem argumentów. Innymi słowy, to nie przypadek, że w naszym bridi Ala jest pierwsza, a kot drugi; gdyby było odwrotnie, to kot miałby Alę. selbri mogą mieć jednak zarówno mniej, jak i więcej argumentów niż dwa. Chcąc na przykład wysłać naszą Alę na wycieczkę samochodem z Krakowa do Wrocławia, powiedzieliśmy coś w stylu:

la alas. klama la vrotsuav. la krakuf. zo’e le karce

gdzie le karce (wym. le karsze) jest samochodem. klama znaczy “iść/jechać” (jak angielskie go) i ma aż 5 sumti (argumentów), z których każdy ma ściśle określone znaczenie. Jeśli komuś w tej chwili skojarzyło się to z prototypem funkcji w języku programowania, to podpowiem, że skojarzenie jest jak najbardziej słuszne :) lojban ma nawet swojego nulla: zo’e (wym. zohe) oznacza opuszczenie danego sumti, w tym przypadku czwartego. Nie trzeba jednak z niego korzystać; zdanie powyżej da się również powiedzieć i bez “wypełniacza”.

Naturalnie mógłbym kontynuować ten wywód jeszcze bardzo długo – i kto wie, może później to zrobię :) W tym miejscu jednak każdy powinien mieć już jako-takie pojęcie o tym, jak wygląda język lojban – i przy okazji znać już sporą część jego gramatyki. Zachęcam aczkolwiek do przejrzenia poniższych źródeł:

• Oficjalna strona języka lojban
• Artykuł prezentujący lojban przy pomocy UML-a
• Kurs/książka Lojban for Beginners
• Słownik angielski ⇔ lojban
• Polska strona nt. lojbanu

albo przynajmniej zerknięcia na wspomniany na początku artykuł na Wikipedii. Jeśli zaś komuś przez cały czas na końcu języka gnieździ się pytanie “A po co mi to?”, to jako odpowiedź rzucę… oczywiście kolejny komiks z xkcd :) co’o

…co oczywiście znaczy “do widzenia”. A tytuł notki? “Odkryłem lojban”, rzecz jasna :)

Pr0centy

Jako że akurat trwa dla mnie okres najbardziej lubiany przez każdego studenta - czyli sesja - niespecjalnie miałem ostatnio czas na napisanie czegoś interesującego. Wiem, że niektórzy prowadzą bloga w ten sposób, że co kilka tygodni zamieszczają notkę o tym, dlaczego tak długo nie pisali... ale jakoś ta formuła niespecjalnie do mnie przemawia ;-)
Dlatego dzisiaj z braku lepszych pomysłów pozwolę sobie na mały off-topic, który aczkolwiek nawiązuje nieco do kilku wcześniejszych wpisów o tym, jak niektóre proste koncepcje matematyczne bywają źle używane i rozumiane. Tym razem rzecz dotyczy pojęcia niby trywialnego - procentów.

Wszyscy oczywiście wiedzą, co to znaczy, że jedna wielkość stanowi określony procent drugiej - mam nadzieję, że w celu zdobycia tej wiedzy wciąż wystarczy skończyć jedynie podstawówkę. O ile więc zastosowanie procentów w celu wyrażenia relacji zwykle nie sprawia nikomu kłopotów, o tyle znacznie powszechniejsze ich użycie - do opisywania wzrostów i spadków, czyli zmian jakichś wielkości w czasie - już niezupełnie.
Co mam tutaj na myśli? Weźmy klasyczny przykład "handlowy", w którym cenę jakiegoś towaru wpierw podniesiono, a następnie obniżono o 20 procent. Czy plus dwadzieścia i minus dwadzieścia to razem zero?... Naturalnie nie, bo wartość procentowa zawsze występuje w relacji do jakiejś całości - w tym przypadku do aktualnej ceny. Jeśli wynosiła ona na początku x, to po tych dwóch operacjach będzie równa:

Spadnie więc o 4%. W uproszczeniu można zatem powiedzieć, że "procenty nie dodają się", chociaż trzeba oczywiście pamiętać, co się za tym stwierdzeniem kryje.
Może to zaskakujące, ale sprawa pośrednio dotyczy też... gamedevu, a zwłaszcza gier strategicznych i RPG, gdzie często występują różne efekty procentowe (np. zwiększenie obrażeń jednostki o x%), z których kilka może być aktywnych naraz. Ich "składanie" niekiedy jest zaimplementowane dobrze (tak jak powyżej), a niekiedy źle, co często daje się łatwo zauważyć.

Druga kwestia to opisywanie zmian takich wielkości, które same są wyrażone w procentach, jak tempa wzrostu (np. gospodarczego) lub udziału czegoś w całości (np. programów napisanych w danym języku w stosunku do wszystkich). Trzeba pamiętać, że nawet w takich przypadkach procenty zawsze oznaczają relację całość-część, niezależnie od tego w jakich jednostkach owa całość jest wyrażana.
Oto przykład: w pewnym kraju wzrost PKB dwa lata temu wynosił 2%, a w poprzednim roku już 3%. O ile (procent) się zmienił?... Oczywiście o:

.

Jak nietrudno bowiem zauważyć, wzrósł o połowę. Chcąc ten fakt wyrazić w wielkościach bezwzględnych powinniśmy natomiast powiedzieć, że różnica wynosiła jeden punkt procentowy. Stwierdzenie, że jest ona równa 1% znaczyłoby bowiem tyle, że chodzi nam o jeden procent od wartości '2', co rzecz jasna nie jest prawdą.

Niekończące się liczby

Nieskończoność jest jednym z tych pojęć matematycznych, które z samej natury nie dają się odnieść do codziennego życia. W informatyce chyba najbliższym do niej odniesieniem jest nieskończona pętla - czyli taka, której warunek stopu nigdy nie będzie prawdziwy. Wiadomo jednak, że w rzeczywistości ową pętlę prędzej czy później przerwie jeśli nie debugujący kod programista, to jakiekolwiek inne zdarzenie z gatunku losowych, z brakiem prądu włącznie.
Dlatego też intuicyjne pojmowanie tego pojęcia często bywa nieadekwatne do jego faktycznego, matematycznego znaczenia. Można się było o tym przekonać niedawno za sprawą pewnego wątku na forum Warsztatu.

Dotyczył on pewnego matematycznego faktu - iż liczba 0,(9) równa się po prostu 1. Zapis 0,(9) oznacza tutaj - zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją - ciąg 0,999... nieskończonej liczby dziewiątek w rozwinięciu dziesiętnym liczby.
Powyższa równość bywa często kwestionowana przez osoby niezbyt dobrze zaznajomione z bardziej abstrakcyjnymi koncepcjami matematycznymi, jak chociażby granice, szeregi czy własności zbioru liczb rzeczywistych. "Intuicyjnie" - aczkolwiek zupełnie błędnie - może się wydawać, że 0,(9) nie jest równe jeden, a jest jedynie liczbą bardzo, bardzo jej bliską. Najlepiej tak bliską, że już żadnej bliższej być nie może.

To oczywiście jest kompletną bzdurą, bo taka liczba nie istnieje. Jedną z najważniejszych cech liczb rzeczywistych jest właśnie to, że:

czyli że dla dowolnych dwóch takich liczb zawsze da się znaleźć trzecią, dającą się "włożyć" między nimi. Co więcej, takich pośrednich wartości jest całkiem sporo, bo dokładnie tyle samo co w całym zbiorze - nieskończenie wiele.
I tu właśnie już wyraźnie pojawia się nieskończoność, która - jak sądzę - jest głównym "winowajcą" stwierdzeń, że jakoby . Gdy spotykamy się z nim, dość naturalną reakcją jest bowiem zapytanie, ile wobec tego wynosi różnica . Następująca dalej próba zapisania rzekomej "liczby tak bliskiej zera, że już bliższej nie ma" kończy się następnie wyprodukowaniem potworka w rodzaju 0,(0)1. W założeniu ma być on odczytywany jako liczba, która w zapisie dziesiętnym ma nieskończoną liczbę zer, po których następuje jedna jedynka...

Chwila! Jak w ogóle coś może występować na końcu nieskończonego ciągu?!... Ano właśnie - tutaj następuje efektowna logiczna sprzeczność, która ładnie dowodzi nieprawidłowości założenia (czyli nieszczęsnej równości ). Pokazuje też, że mamy tu w gruncie rzeczy z nierozumieniem pojęcia tzw. nieskończoności potencjalnej, czyli najprostszego ujęcia idei nieskończoności: jako takiej ilości, która jest większa od każdej, dowolnie dużej skończonej liczby.
A to przecież nie wszystko, co matematyka na temat nieskończoności ma do powiedzenia. Wręcz przeciwnie - to dopiero marny wycinek, jako że teoria zbiorów przekonuje nas, że tak naprawdę rodzajów nieskończoności jest... nieskończenie wiele :) Uff, jak dobrze, że w informatyce wszystko, na czym się w praktyce operuje jest z założenia skończone i możliwe do policzenia... A jeśli nawet nie, to przecież zawsze można się ograniczyć do jakiegoś ograniczonego z góry zbioru wartości, które wspieramy. Tak jak pewien protokół używany do routowania, dla którego nieskończoną liczbą jest już... 16 :]

Naprawdę duże liczby

Programując, rzadko mamy do czynienia z bardzo dużymi wartościami. Dowodem na to jest choćby fakt, że 32-bitowe systemy dopiero teraz zaczynają być w zauważalny sposób zastępowane 64-bitowymi. Jedynie w przypadku rozmiarów bardzo dużych plików operowanie zmiennymi mogącymi zmieścić wartości większe niż 4 miliardy jest konieczne.
Inne dziedziny życia i nauki przynoszą nam nieco większe wartości. Ekonomia czasami mówi o dziesiątkach bilionów (PKB dużych krajów), a fizyka często posługuje się wielkościami zapisywanymi przy pomocy notacji potęgowej - aż do ok. 10⁸⁰, czyli szacowanej liczby wszystkich atomów we Wszechświecie.

Wydawać by się mogło, że wielkość ta jest bliska górnej granicy wartości, jakich kiedykolwiek moglibyśmy używać w sensownych zastosowaniach. Okazuje się jednak, że tak nie jest; co więcej, jakakolwiek liczba zapisana za pomocą co najwyżej potęgowania jest tak naprawdę bardzo, bardzo mała.
Do zapisywania naprawdę dużych liczb potrzebne są bowiem inne notacje. Jednym z takich sposobów zapisu jest notacja strzałkowa Knutha, która jest "naturalnym" rozszerzeniem operacji algebraicznych. Tak jak dodawanie jest iterowaną inkrementacją, mnożenie jest iterowanym dodawaniem, a potęgowanie - iterowanym mnożeniem:

,

tak każdy następny operator strzałkowy jest iterowaną wersją poprzedniego. I tak pierwszy z nich, to zwykłe potęgowanie , ale już drugi:

jest odpowiednikiem wielokrotnego podnoszenia danej liczby do jej potęgi. W ogólności, skracając ciąg n strzałek do , otrzymujemy definicję:

Na pierwszy rzut oka może wydawać się to nieoczywiste, jednak już dla n = 3 i jednocyfrowych argumentów, wielkość liczb otrzymywanych przy użyciu notacji strzałkowej znacznie przekracza te, które można w wygodny sposób zapisać przy pomocy samego potęgowania. Chcąc je mimo wszystko przedstawić w tej postaci, trzeba się uciekać do sztuczek z klamerkami:

Oczywiście wraz ze wzrostem liczby strzałek nawet takie triki przestają wystarczać.

W tej chwili pewnie nasuwa się proste pytanie: czy z takiego systemu zapisu jest w ogóle jakiś pożytek, jeśli nikt nie posługuje się na poważnie tak wielkimi liczbami?... Odpowiedź jest jak najbardziej twierdząca, mimo że założenie w pytaniu jest nieprawdziwe. Otóż niektóre dziedziny matematyki używają nie tylko takich, ale i znacznie większych wartości - i nie chodzi tu nawet o teorię liczb, którą to jako pierwszą podejrzewalibyśmy o rzucanie liczbami "z kosmosu".
Według Księgi Rekordów Guinnessa największą skończoną liczbą kiedykolwiek użytą w poważnym dowodzie matematycznym jest bowiem tzw. liczba Grahama, będącą górnym ograniczeniem pewnej wielkości występującej w problemie luźno związanym z grafami. Żeby ją zdefiniować, można użyć notacji strzałkowej - trzeba to jednak zrobić... iteracyjnie, wprowadzając pomocniczy ciąg g_n:

Już pierwszy jego wyraz nie daje się zapisać w postaci potęgowej, ale gwoździem programu jest zauważenie, że kolejne jego elementy posługują się poprzednimi w celu określenia liczby strzałek w operatorze . Innymi słowy, mamy tu wejście na kolejny poziom abstrakcji i stoimy już chyba tak wysoko, że aż strach spoglądać w dół ;)
Co jednak ze wspomnianą wcześniej liczbą Grahama? Teraz na szczęście jej określenie jest już bardzo proste. Jest ona równa ni mniej, ni więcej, jak tylko... g₆₄ :-)

W matematyce jest odwrotnie

W pewnych sprawach kiedyś występowała alternatywa dwóch równoważnych możliwości i trzeba było w końcu zdecydować się na wybór jednej z nich. Matematycy często ustalają w ten sposób coś "dla porządku" lub dla tzw. ustalenia uwagi. Jak na ironię zauważyłem jednak, że zwykle to właśnie w matematyce niektóre powszechnie obowiązujące umowy wcale nie wprowadzają porządku, gdyż są dokładnie odwrotne względem intuicji lub codziennego doświadczenia. Oto przykłady:

• Kąty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie - ze szczególnym uwzględnieniem współrzędnych biegunowych - są tak określone, że większe ich wartości oznaczają coraz większe przesunięcie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
• Tzw. główna przekątna macierzy przy jej zwykłej reprezentacji tablicowej obejmuje komórki od lewego górnego do prawego dolnego rogu. Linia, która jest pochylona w ten sposób, przypomina znak backslash :)
• 
  Ta funkcja jest wypukła :)

  Funkcje rzeczywiste nazywane wypukłymi narysowane w postaci wykresu przyjmują postać krzywej wygiętej do dołu, co sugeruje nazywać je raczej... wklęsłymi (obrazuje to rysunek po prawej).

• Tradycyjnie wektory w matematyce zapisuje się jako kolumnowe (czyli macierze ), a nie wierszowe (). To niby nic specjalnego, ale skutek "uboczny" jest taki, że macierze przekształceń (obrotu, translacji, itp.) w stosunku do takich wektorów należy aplikować w kolejności odwrotnej względem rzeczywistej kolejności transformacji, którą chcemy uzyskać (kiedyś już pisałem więcej na ten temat).

Na pewno nie są to wszystkie przypadki podobnych "niefortunnych" rozstrzygnięć; z pewnością dałoby się znaleźć ich więcej. Na pewno też każdy z nich daje się w zadowalający sposób uzasadnić (jak chociażby przekątną macierzy - jest ona po prostu definiowana przez te komórki, których numer wiersza jest równy numerowi kolumny). I paradoksalnie to właśnie jest w nich najgorsze: nie da się z nimi nic zrobić, jak tylko zwyczajnie zapamiętać :)

Dwa paradoksy prawdopodobieństwa

Na dzisiaj przewidziałem ciekawostki z nieco innej niż zwykle beczki :) Chciałem mianowicie pokazać dwa przykłady na to, jak intuicyjnie całkiem proste pojęcie matematyczne w rzeczywistości jest bardzo podatne na niewłaściwe zrozumienie. Chodzi tutaj o zwykłe prawdopodobieństwo - czyli szansę na zajście jakiegoś zdarzenia.

Pierwszy przykład jest z gatunku rozrywkowo-medialnych i związany jest z pewnym teleturniejem, który zresztą był kiedyś emitowany także w Polsce. Oto w pewnym jego etapie uczestnik jest konfrontowany z trzema zasłoniętymi bramkami, z których jedna zawiera nagrodę, a dwie pozostałe są puste. Spośród tej trójki gracz wybiera jedną bramkę, by stać się właścicielem jej ewentualnej zawartości. Trik polega na tym, że gospodarz programu - już po wyborze gracza - odsłania jedną z pozostałych bramek, która okazuje się być pusta. Zgodnie z regułami teleturnieju gracz może w tym momencie zmienić swój wybór i wskazać trzecią bramkę zamiast tej wybranej pierwotnie. Pytanie brzmi: czy taka zamiana mu się opłaca?
Cześć ludzi stwierdziłaby zapewne, że nie ma to znaczenia, bo szansa wygranej przecież i tak wynosi 1 do 3, bo tylko za jedną bramką jest nagroda. Inni mogliby uznać, że po odsłonięciu jednej bramki wybieramy już spośród dwóch, więc nasze szansę rosną do 50% - też niezależnie od tego, czy zmienimy swój pierwotny wybór czy nie... A jak jest naprawdę?
Może się to wydawać niedorzeczne, jednak będąc na miejscu gracza, powinniśmy zawsze zmienić swój wybór. Mało tego, w ten sposób nasze szanse na wygraną rosną dokładnie dwukrotnie! Jak to możliwe?... Otóż kluczowe w wyjaśnieniu tego zjawiska jest zauważenie, że gospodarz programu zawsze odsłoni bramkę pustą i niewybraną przez gracza (w innym przypadku gra skończyłaby się od razu i w ogóle nie byłoby możliwości zmiany). Dlatego też opłaca się dokonać zmiany, bo w ten sposób w istocie odwracamy prawdopodobieństwo wygranej i przegranej. Możliwe są bowiem dwie sytuacje:

• gracz początkowo wybiera bramkę z nagrodą - po zmianie kończy więc z bramką pustą
• gracz najpierw wskazuje bramkę pustą; wówczas gospodarz odsłoni drugą pustą bramkę, więc zmiana skończy się wyborem bramki z nagrodą

Jak wiadomo prawdopodobieństwo dobrego wyboru spośród trzech bramek wynosi 1/3, a złego - 2/3. Takie są też odpowiednie prawdopodobieństwa dwóch powyższych scenariuszy; innymi słowy, zmiana bramki powoduje, że prawdopodobieństwo wygranej rośnie z początkowego 1/3 do 2/3.
Jeśli ktoś ma nadal wątpliwości, to nie ma czym się martwić - podobno wielu matematyków też ma kłopoty z ogarnięciem tego paradoksu :) Wydaje mi się, że rzecz w tkwi w błędnym określeniu, co tak naprawdę jest tutaj zdarzeniem losowym. Jeśli za takie będziemy uważali zarówno początkowy wybór, jak i zmianę, to rzeczywiście mogą być kłopoty z dojściem do poprawnych wniosków. Zamiast tego całą grę powinno się traktować jako jedno doświadczenie losowe, ze z góry ustalonym scenariuszem.

A co z drugim przykładem? Jest na szczęście nieco prostszy i dotyczy koncepcji zdarzeń (nie)zależnych. Oto kilka pytań dotykających tej kwestii, dla których odpowiedzi "intuicyjne" są zwykle błędne:

• Jeśli zakręcimy kołem ruletki 57 razy i za każdym razem kulka wpadnie w czarne pole, to jaka jest szansa na to, że będzie tak również przy następnym obrocie?
• Jeśli liczba 42 ostatni raz wystąpiła w Dużym Lotku pół roku temu, to jaka jest szansa, iż wypadnie w dzisiejszym losowaniu?
• Jeśli w grze X potwór Y wyrzuca przedmiot Z z prawdopodobieństwem 1/n, to jak dużo potworów Y powinienem zabić, aby być prawie pewien, że wypadnie mi z nich przedmiot Z?

Nie, prawdopodobieństwo wpadnięcia kulki w czarne pole to cały czas 1/2. Nie, liczba 42 może wypaść z takim samym prawdopodobieństwem dzisiaj, jak i w każdym innym losowaniu. Nie, zabicie n potworów Y wcale nie da nam prawie-pewności dostania Z - o ile mówimy o zwyczajowym użyciu słowa 'prawie' ;)
Wszędzie tutaj mamy bowiem do czynienia z sekwencją zdarzeń całkowicie niezależnych, których wyniki nie wpływają na siebie. Zatem nie ma znaczenia to, ile razy wcześniej kręciliśmy ruletką, ile wysłaliśmy już w życiu kuponów Lotto i ile wrażych monstrów zdołaliśmy zaszlachtować - prawdopodobieństwo zajścia interesującego nas zdarzenia w kolejnej próbie jest zawsze identyczne. Możemy aczkolwiek spróbować policzyć, na ile jest to prawdopodobne dla ciągu k kolejnych prób. Otóż ze schematu Bernoulliego wynika, że szansa na sukces wynosi wtedy

1 - (1 - p)^k

jeśli dla pojedynczej próby prawdopodobieństwo wynosi p. Stąd dla p = 1/n i k = n otrzymujemy (po kilku, jak to by powiedzieli matematycy, "trywialnych przekształceniach ;D) wynik: (e - 1)/e; nieco ponad 63%. To trochę mało jak na prawie-pewność, czyż nie? ;]

Jak więc widać na przykładach, szansa na to, że opacznie zrozumiemy sytuację, w której zastosowania mają pojęcia 'szansy' czy 'prawdopodobieństwa' (używane tutaj jako synonimy) jest - nomen omen dosyć duża. Może dlatego w szkole niespecjalnie przepadałem za tym działem matematyki :)