W obronie π

2010-07-05 11:32

Doprawdy ciekawe pomysły można czasami znaleźć w Internecie. Na pierwszy rzut mogą wydawać się zupełnie szalone, lecz po bliższym przyjrzeniu daje się w nich zauważyć pewien sens… Ale zwykle tylko pewien, tj. niewielki :) Tak właśnie jest z ideą “nowej stałej okręgu” – liczbą \tau (równą 2\pi), której to propozycja zawarta jest tekście o intrygującym tytule The Tau Manifesto.

Postulat zastąpienia liczby \pi – chyba najbardziej znanej stałej, występującej w matematyce, fizyce, grafice komputerowej i generalnie każdej dziedzinie wiedzy, mającej cokolwiek wspólnego z liczeniem czegokolwiek – wygląda zrazu na zupełnie szalony. Tym niemniej Manifest Tau zawiera naprawdę sporo argumentów przemawiających za tezą, że jednak \tau jest bardziej użyteczną liczbą i lepiej spełnia funkcję “stałej okręgu” niż jej połówka, czyli \pi. Ich podsumowanie wygląda mniej więcej tak:

  1. Definicja \pi jest nienaturalna, bo wykorzystuje pojęcie średnicy okręgu zamiast jego promienia. Promień jest tu lepszy w tym sensie, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów w równej odległości od swojego środka – odległości równej właśnie promieniowi.
  2. \pi we wzorach matematycznych występuje często z czynnikiem 2 – na tyle często, że można stwierdzić, iż właśnie 2\pi jest ważniejszą wartością niż samo \pi.
  3. Standardowa miara kątów płaskich w radianach przypisuje 2\pi kątowi pełnemu, czyli kątowi jednego obrotu po okręgu. Przy użyciu \tau kąt ten wyraża się jako 1\tau, co wydaje się znacznie bardziej intuicyjne. Łatwiej jest też podobno wytłumaczyć, że np. ćwiartka okręgu to \tau/4, a nie \pi/2.
  4. Słynna tożsamość Eulera ( e^{i\pi}+1=0 ), łącząca pięć ważnych stałych matematycznych, ma też swój odpowiednik w postaci wykorzystującej \tau: e^{i\tau}=1+0.
  5. Wzór na pole koła ( \pi r^2 ), w którym występuje \pi z czynnikiem 1, po przepisaniu na \frac{1}{2}\tau r^2 staje się podobny do niektórych wzorów fizycznych (zwanych tutaj formami kwadratowymi), jak np. \frac{1}{2}gt^2 czy \frac{1}{2}mv^2.

W oryginalnym artykule argumenty te przedstawione są rzecz jasna w sposób znacznie bardziej pomysłowy, elokwentny i trącący przekazywaniem “oczywistej oczywistości”, że się tak kolokwialnie wyrażę :) Trąci też jednak nadmiernym zamiłowaniem do numerologii i przywiązywaniem wagi to takich rzeczy jak czynnik przy jakiejś stałej w tym czy innym wzorze. Lecz nawet jeśli przyjmiemy tę konwencję, to znalezienie przekonujących kontrargumentów wcale nie jest trudne.

Rzekoma nienaturalność definicji \pi wynika głównie z tego, że z niewiadomych przyczyn przyczepiliśmy się do pojęcia okręgu, ignorując istnienie innej figury geometrycznej: koła, czyli okręgu wraz z jego wnętrzem. Koło zaś możemy łatwo zdefiniować jako zbiór punktów odległych co najwyżej o jakieś d, gdzie to d to właśnie średnica. Jeśli jednak bardziej odpowiada nam promień, to też nie ma problemu. Oto \pi=P/r^2; iloraz pola koła i kwadratu jego promienia to właśnie \pi.
Wszechobecność \pi z czynnikiem 2 w wielu wzorach też jest raczej pozorna, bo zależy głównie od tego, na które wzory akurat patrzymy :) Istnieje bowiem całe mnóstwo przykładów – zarówno matematycznych, jak i fizycznych – na występowanie \pi z innymi czynnikami. Są to chociażby pole powierzchni ( 4\pi r^2 ) i objętość ( \frac{4}{3}\pi r^3 ) kuli, prawo CoulombaF=\frac{\left|q_1 q_2\right|}{4\pi \epsilon_0 r^2} ), stała kosmologiczna\Lambda=\rho\frac{8\pi G}{3c^2} ) czy też zasada nieoznaczności ( \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} w wersji dla pozycji i pędu). Nie ma więc specjalnych powodów by twierdzić, że użycie \tau w znaczący sposób uprościłoby te formuły.

Ponadto spora liczba wystąpień 2\pi związana jest z tym, że taka jest właśnie miara kąta pełnego – co jest zresztą kolejnym argumentem przeciwko poczciwej ludolfinie. Pomijając fakt użycia specyficznych dla języka angielskiego sztuczek słownych (przypisanie \tau wyrazowi turn, czyli obrót), wprowadzenie \tau w zastępstwie \pi sprawiłoby przecież, że nagle suma miar kątów w trójkącie i każdym innym nieparzysto-n-kącie stanie się “brzydka”, bo równa \frac{(n-3)\tau}{2}. Podobny argument o okresie funkcji sinus i cosinus (oba równe \tau=2\pi) da się zripostować analogicznym stwierdzeniem dla tangensa i cotagensa, dla których wynosi on okrągłe \pi.
O tożsamości Eulera w postaci e^{i\tau}=1+0 trudno natomiast powiedzieć cokolwiek innego niż ‘naciągana’ – zwłaszcza, że jej odpowiednik z \pi należy do niezwykle powszechnych w matematyce równań o zerowej prawej stronie. Jednak to nic w porównaniu z rzekomym uzasadnieniem, dlaczego \frac{1}{2}\tau r^2 jest lepsze od \pi r^2 jako wzór na powierzchnię koła. Porównanie do formuł fizycznych w rodzaju wzoru na energię kinetyczną ( \frac{1}{2}mv^2 ) wydaje się z miejsca przekonujące, o ile tylko zapomnimy o pewnym istotnym szczególe. Otóż wielkości fizyczne mają jednostki (tutaj: kilogramy, metry i sekundy) i to od definicji tych jednostek zależy między innymi to, jakie współczynniki wystąpią w formułach takich, jak powyższa. Wystarczyłoby zamienić odważnik w Sevres na dwukrotnie cięższy (zmieniając definicję kilograma), by nasz wzór na energię kinetyczną stracił czynnik \frac{1}{2}. Podobnej “wady” nie ma oczywiście ani \pi r^2, ani żaden inny wzór geometryczny, bo nie występują w nich działania na wielkościach różnych wymiarów, więc są one niezależne od używanych jednostek.

Wniosek końcowy jest więc taki, że pogłoski o rychłej śmierci \pi są zdecydowanie przesadzone :) Manifest Tau może więc stanowić co najwyżej przykład “kreatywnej matematyki” – analogicznej do sławetnej ‘kreatywnej księgowości’ – oraz dość osobliwego sposobu postrzegania elegancji w matematycznych formułach. Tym niemniej samego \tau nie powinno się od razu spisywać na straty, bo w przynajmniej jednej dziedzinie stała ta może być faktycznie lepsza od liczby \pi.
Gdzie? Ano spieszę z odpowiedzią, że w… grafice komputerowej, a dokładniej w tych miejscach, gdzie dokonujemy przekształceń obiektów za pomocą obrotów. Trudno zaprzeczyć temu, że wyrażanie kątów za pomocą \tau jest w tej sytuacji o wiele wygodniejsze niż przy pomocy \pi. Trudniej też o pomyłkę w pisaniu:

  1. D3DXMatrixRotationX (&rot, TAU / 2);

zamiast:

  1. D3DXMatrixRotationX (&rot, D3DX_PI);

gdy naszą intencją był półobrót wokół osi X. Definiując więc sobie taką oto stałą:

  1. const float TAU = 6.2831853072f;

możemy z tej matematycznej zabawy wynieść wymierną, koderską korzyść :)

Tags: ,
Author: Xion, posted under Math »


13 comments for post “W obronie π”.
  1. gsrorsgj:
    July 5th, 2010 o 15:02

    Cytat z kiepskiego serialu na polsacie:
    “Papier toaletowy sie nie zmieni, bo ludzka dupa sie nie zmieni”

    tak samo pi, było, jest i będzie 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749…

  2. Dakurels:
    July 5th, 2010 o 15:06

    Bardzo fajny artykulik :). Ale osobiście we fragmencie o tożsamości Eulera zmieniłbym e^{i\tau}=1+0 na e^{i\tau}-1=0 co wyglądałoby bardziej naturalnie w obecności e^{i\pi}+1=0

  3. Xion:
    July 5th, 2010 o 16:29

    Też bym raczej właśnie tak to zapisał, ale w wersji 1+0 dał ten wzór autor pomysłu liczby \tau, więc jej się trzymałem :)

  4. I:
    July 5th, 2010 o 17:59

    omg, ale pierdoly :X

  5. moriturius:
    July 6th, 2010 o 9:17

    A ja tam wcale nie uważam, że to taki zły pomysł. Tzn. nie mówię, że trzeba skasować PI ;) Myślę, że dodanie takiego TAU faktcznie w niektórych miejscach zwiększyłoby intuicyjność. Przecież mogą istnieć razem, prawda?

    Czy nie mogą? :>

  6. Tomcat:
    July 6th, 2010 o 13:29

    Bardzo ciekawy artykuł :) Pokazuję tylko jak niesamowita i zaskakująca jest ludzka wyobraźnia. Jak dla mnie jednak pomysł trochę naciągany ;) tak jak moriturius napisał wyżej. Przecież obie stałe mogą współistnieć. Samemu nawet zdarzało mi się definiować stałe DOUBLE_PI w swoich programach ;), bo jednak tak zapisywane obroty są bardziej naturalne. Poza tym zmienianie wzorów, które większość zna jak pacierz tylko dlatego, że wg czyjeś subiektywnej oceny takie są “ładniejsze” nie ma sensu. Równie dobrze, moglibyśmy przyczepić się o zapis różnych stałych itd. Nie mniej jednak uważam, że pi jest ciągle niezagrożona ;)

  7. Fredny:
    July 6th, 2010 o 16:19

    A to wszystko bo żyjemy w przestrzeni euklidesowej.. Gdyby suma kątów w trójkącie była inna niż 180, trzeba by PI przedefiniować inaczej. Dopiero by w grach ciekawie było :D
    Choć w niektórych wzorach, np. tej tożsamość Ojlera to do dzisiaj uważam za podejrzane że tam PI stoi… :)

  8. Xion:
    July 7th, 2010 o 15:49

    Tożsamość Eulera wynika ze sposobu potęgowania liczb zespolonych:
    \displaystyle e^{a+bi} = e^a(\cos b + i \sin b)
    a to z kolei da się wyprowadzić z samego faktu, że i^2= -1 i szeregu Taylora – np. tak jak tutaj.

  9. fredny:
    July 7th, 2010 o 22:20

    Przypomniałem sobie że dawno temu o PI czytałem w Scientific American – jak znaleźć N tą cyfrę rozwinięcia PI nie znajdując wszystkich 0..N-1 cyftr. Ale, uwaga – działa to tylko dla hexadecymala :)

    Odnośnie wzoru Eulera – Słusznie, zapomnialem o tym. Tym niemniej jest troche wzorów, gdzie (przynajmniej na pierwszy rzut okiem) ani sumowanie w przestrzeni N wymiarow ani różne inne zabiegi nie są robione a mimo to PI tam siedzi :)

  10. fredny:
    July 7th, 2010 o 22:23

    Eh. Artukul tu: http://www.nersc.gov/homes/dhbailey/dhbpapers/digits.pdf

  11. nameczanin:
    July 14th, 2010 o 13:15

    Na mój gust (TAU / 2) != (D3DX_PI / 4). Co więcej, (TAU / 2) > (D3DX_PI / 4). Bo nie rozumiem tam słowa “zamiast”.

    Aczkolwiek temat ciekawy :)

  12. Xion:
    July 14th, 2010 o 17:14

    No tak – miało być TAU / 2 i D3DX_PI :)

  13. Anonymous:
    July 12th, 2011 o 12:18

    Nie mogę się zgodzić z
    “Wystarczyłoby zamienić odważnik w Sevres na dwukrotnie cięższy (zmieniając definicję kilograma), by nasz wzór na energię kinetyczną stracił czynnik 1/2”

    1/2 jest konieczną częścią wzoru (wynikająca z własności pochodnej).

    Jakby odważnik zmieniono na dwa razy cięższy, to poza definicją kilograma zmieniłaby się też definicja Dżula (która zawiera w sobie kilogram). 1/2 by została.

Comments are disabled.
 


© 2017 Karol Kuczmarski "Xion". Layout by Urszulka. Powered by WordPress with QuickLaTeX.com.