Niekończące się liczby

2009-12-22 14:18

Symbol nieskończonościNieskończoność jest jednym z tych pojęć matematycznych, które z samej natury nie dają się odnieść do codziennego życia. W informatyce chyba najbliższym do niej odniesieniem jest nieskończona pętla – czyli taka, której warunek stopu nigdy nie będzie prawdziwy. Wiadomo jednak, że w rzeczywistości ową pętlę prędzej czy później przerwie jeśli nie debugujący kod programista, to jakiekolwiek inne zdarzenie z gatunku losowych, z brakiem prądu włącznie.
Dlatego też intuicyjne pojmowanie tego pojęcia często bywa nieadekwatne do jego faktycznego, matematycznego znaczenia. Można się było o tym przekonać niedawno za sprawą pewnego wątku na forum Warsztatu.

0,(9), czyli 1Dotyczył on pewnego matematycznego faktu – iż liczba 0,(9) równa się po prostu 1. Zapis 0,(9) oznacza tutaj – zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją – ciąg 0,999… nieskończonej liczby dziewiątek w rozwinięciu dziesiętnym liczby.
Powyższa równość bywa często kwestionowana przez osoby niezbyt dobrze zaznajomione z bardziej abstrakcyjnymi koncepcjami matematycznymi, jak chociażby granice, szeregi czy własności zbioru liczb rzeczywistych. “Intuicyjnie” – aczkolwiek zupełnie błędnie – może się wydawać, że 0,(9) nie jest równe jeden, a jest jedynie liczbą bardzo, bardzo jej bliską. Najlepiej tak bliską, że już żadnej bliższej być nie może.

To oczywiście jest kompletną bzdurą, bo taka liczba nie istnieje. Jedną z najważniejszych cech liczb rzeczywistych jest właśnie to, że:

\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R}, a < b \  \exists x \in \mathbb{R} \quad a< x < b

czyli że dla dowolnych dwóch takich liczb zawsze da się znaleźć trzecią, dającą się “włożyć” między nimi. Co więcej, takich pośrednich wartości jest całkiem sporo, bo dokładnie tyle samo co w całym zbiorze \mathbb{R} – nieskończenie wiele.
I tu właśnie już wyraźnie pojawia się nieskończoność, która – jak sądzę – jest głównym “winowajcą” stwierdzeń, że jakoby 0,(9) \ne 1. Gdy spotykamy się z nim, dość naturalną reakcją jest bowiem zapytanie, ile wobec tego wynosi różnica |1 - 0,(9)|. Następująca dalej próba zapisania rzekomej “liczby tak bliskiej zera, że już bliższej nie ma” kończy się następnie wyprodukowaniem potworka w rodzaju 0,(0)1. W założeniu ma być on odczytywany jako liczba, która w zapisie dziesiętnym ma nieskończoną liczbę zer, po których następuje jedna jedynka…

Chwila! Jak w ogóle coś może występować na końcu nieskończonego ciągu?!… Ano właśnie – tutaj następuje efektowna logiczna sprzeczność, która ładnie dowodzi nieprawidłowości założenia (czyli nieszczęsnej równości 0,(9) \ne 1). Pokazuje też, że mamy tu w gruncie rzeczy do czynienia z nierozumieniem pojęcia tzw. nieskończoności potencjalnej, czyli najprostszego ujęcia idei nieskończoności: jako takiej ilości, która jest większa od każdej, dowolnie dużej skończonej liczby.
A to przecież nie wszystko, co matematyka na temat nieskończoności ma do powiedzenia. Wręcz przeciwnie – to dopiero marny wycinek, jako że teoria zbiorów przekonuje nas, że tak naprawdę rodzajów nieskończoności jest… nieskończenie wiele :) Uff, jak dobrze, że w informatyce wszystko, na czym się w praktyce operuje jest z założenia skończone i możliwe do policzenia… A jeśli nawet nie, to przecież zawsze można się ograniczyć do jakiegoś ograniczonego z góry zbioru wartości, które wspieramy. Tak jak pewien protokół używany do routowania, dla którego nieskończoną liczbą jest już… 16 :]

Tags: ,
Author: Xion, posted under Math »


6 comments for post “Niekończące się liczby”.
  1. lukaszsa:
    December 22nd, 2009 o 15:00

    W rzeczywistości jest jedna rzecz prawie idealnie obrazująca nieskończoność. Dwa równolegle ustawione zwierciadła. Ale prawie robi różnice:)

  2. brodny:
    December 23rd, 2009 o 0:13

    Można też zrobić tak, jak to w liceum uczyli, do niektórych może dojść łatwiej, niż ta kwantyfikatorowa gadka ;)

    x = 0,(9)
    10x = 9,(9)
    (odejmujemy stronami)
    9x=9
    x=1

    Czyli 0,(9) = 1 ;)

  3. SebaS86:
    December 23rd, 2009 o 8:03

    Brodny, co to za magiczne odejmowanie stronami? Coś pokręciłeś, na wiki jest lepszy przykład.

  4. Alton:
    December 23rd, 2009 o 8:41

    To taki magiczny sposób rozwiązywania układów równań. Uczą tego w gimnazjum ;)
    Jak nie wierzysz, to zrób sobie choćby arcyambitny układ
    x+y=7
    2x+y=12
    Odejmij stronami i zobaczysz, że wynik się zgadza.

  5. Xion:
    December 23rd, 2009 o 12:06

    No właśnie, to nic magicznego :) Jeśli a = b oraz x = y, to również a - x = b - y, bo:

    L = a - x = b - x = b - y = P.

    Druga równość wynika tu z pierwszego równania, a trzecia z drugiego.

  6. Ushi:
    February 12th, 2010 o 23:12

    @SebaS86
    brodny niczego nie pokręcił:
    9,(9)-0,(9)=9

    mnie tez tak uczyli (jeszcze w gimnazjum, gdy nauczyciel pokazywał jak przejść z ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły)

Comments are disabled.
 


© 2017 Karol Kuczmarski "Xion". Layout by Urszulka. Powered by WordPress with QuickLaTeX.com.