Dwa paradoksy prawdopodobieństwa

2009-04-05 18:34

Na dzisiaj przewidziałem ciekawostki z nieco innej niż zwykle beczki :) Chciałem mianowicie pokazać dwa przykłady na to, jak intuicyjnie całkiem proste pojęcie matematyczne w rzeczywistości jest bardzo podatne na niewłaściwe zrozumienie. Chodzi tutaj o zwykłe prawdopodobieństwo – czyli szansę na zajście jakiegoś zdarzenia.

Pierwszy przykład jest z gatunku rozrywkowo-medialnych i związany jest z pewnym teleturniejem, który zresztą był kiedyś emitowany także w Polsce. Oto w pewnym jego etapie uczestnik jest konfrontowany z trzema zasłoniętymi bramkami, z których jedna zawiera nagrodę, a dwie pozostałe są puste. Spośród tej trójki gracz wybiera jedną bramkę, by stać się właścicielem jej ewentualnej zawartości. Trik polega na tym, że gospodarz programu – już po wyborze gracza – odsłania jedną z pozostałych bramek, która okazuje się być pusta. Zgodnie z regułami teleturnieju gracz może w tym momencie zmienić swój wybór i wskazać trzecią bramkę zamiast tej wybranej pierwotnie. Pytanie brzmi: czy taka zamiana mu się opłaca?
Część ludzi stwierdziłaby zapewne, że nie ma to znaczenia, bo szansa wygranej przecież i tak wynosi 1 do 3, bo tylko za jedną bramką jest nagroda. Inni mogliby uznać, że po odsłonięciu jednej bramki wybieramy już spośród dwóch, więc nasze szansę rosną do 50% – też niezależnie od tego, czy zmienimy swój pierwotny wybór czy nie… A jak jest naprawdę?
Może się to wydawać niedorzeczne, jednak będąc na miejscu gracza, powinniśmy zawsze zmienić swój wybór. Mało tego, w ten sposób nasze szanse na wygraną rosną dokładnie dwukrotnie! Jak to możliwe?… Otóż kluczowe w wyjaśnieniu tego zjawiska jest zauważenie, że gospodarz programu zawsze odsłoni bramkę pustą i niewybraną przez gracza (w innym przypadku gra skończyłaby się od razu i w ogóle nie byłoby możliwości zmiany). Dlatego też opłaca się dokonać zmiany, bo w ten sposób w istocie odwracamy prawdopodobieństwo wygranej i przegranej. Możliwe są bowiem dwie sytuacje:

  • gracz początkowo wybiera bramkę z nagrodą – po zmianie kończy więc z bramką pustą
  • gracz najpierw wskazuje bramkę pustą; wówczas gospodarz odsłoni drugą pustą bramkę, więc zmiana skończy się wyborem bramki z nagrodą

Jak wiadomo prawdopodobieństwo dobrego wyboru spośród trzech bramek wynosi 1/3, a złego – 2/3. Takie są też odpowiednie prawdopodobieństwa dwóch powyższych scenariuszy; innymi słowy, zmiana bramki powoduje, że prawdopodobieństwo wygranej rośnie z początkowego 1/3 do 2/3.
Jeśli ktoś ma nadal wątpliwości, to nie ma czym się martwić – podobno wielu matematyków też ma kłopoty z ogarnięciem tego paradoksu :) Wydaje mi się, że rzecz w tkwi w błędnym określeniu, co tak naprawdę jest tutaj zdarzeniem losowym. Jeśli za takie będziemy uważali zarówno początkowy wybór, jak i zmianę, to rzeczywiście mogą być kłopoty z dojściem do poprawnych wniosków. Zamiast tego całą grę powinno się traktować jako jedno doświadczenie losowe, ze z góry ustalonym scenariuszem.

A co z drugim przykładem? Jest na szczęście nieco prostszy i dotyczy koncepcji zdarzeń (nie)zależnych. Oto kilka pytań dotykających tej kwestii, dla których odpowiedzi “intuicyjne” są zwykle błędne:

  • Jeśli zakręcimy kołem ruletki 57 razy i za każdym razem kulka wpadnie w czarne pole, to jaka jest szansa na to, że będzie tak również przy następnym obrocie?
  • Jeśli liczba 42 ostatni raz wystąpiła w Dużym Lotku pół roku temu, to jaka jest szansa, iż wypadnie w dzisiejszym losowaniu?
  • Jeśli w grze X potwór Y wyrzuca przedmiot Z z prawdopodobieństwem 1/n, to jak dużo potworów Y powinienem zabić, aby być prawie pewien, że wypadnie mi z nich przedmiot Z?

Nie, prawdopodobieństwo wpadnięcia kulki w czarne pole to cały czas 1/2. Nie, liczba 42 może wypaść z takim samym prawdopodobieństwem dzisiaj, jak i w każdym innym losowaniu. Nie, zabicie n potworów Y wcale nie da nam prawie-pewności dostania Z – o ile mówimy o zwyczajowym użyciu słowa ‘prawie’ ;)
Wszędzie tutaj mamy bowiem do czynienia z sekwencją zdarzeń całkowicie niezależnych, których wyniki nie wpływają na siebie. Zatem nie ma znaczenia to, ile razy wcześniej kręciliśmy ruletką, ile wysłaliśmy już w życiu kuponów Lotto i ile wrażych monstrów zdołaliśmy zaszlachtować – prawdopodobieństwo zajścia interesującego nas zdarzenia w kolejnej próbie jest zawsze identyczne. Możemy aczkolwiek spróbować policzyć, na ile jest to prawdopodobne dla ciągu k kolejnych prób. Otóż ze schematu Bernoulliego wynika, że szansa na sukces wynosi wtedy

1 – (1 – p)k

jeśli dla pojedynczej próby prawdopodobieństwo wynosi p. Stąd dla p = 1/n i k = n otrzymujemy (po kilku, jak to by powiedzieli matematycy, “trywialnych przekształceniach ;D) wynik: (e – 1)/e; nieco ponad 63%. To trochę mało jak na prawie-pewność, czyż nie? ;]

Jak więc widać na przykładach, szansa na to, że opacznie zrozumiemy sytuację, w której zastosowania mają pojęcia ‘szansy’ czy ‘prawdopodobieństwa’ (używane tutaj jako synonimy) jest – nomen omen dosyć duża. Może dlatego w szkole niespecjalnie przepadałem za tym działem matematyki :)

Tags:
Author: Xion, posted under Math »


19 comments for post “Dwa paradoksy prawdopodobieństwa”.
  1. Aithne:
    April 5th, 2009 o 19:30

    To przecież oczywista oczywistość… :)

  2. Kamil:
    April 6th, 2009 o 4:53

    Prowadzacy tak defacto nie pyta czy chcesz wybrac druga bramke, tylko czy chcesz wybrac pozostale bramki ;-) Jesli pytanie zada nam przed odslonieciem bramki, jest to pytanie chcesz zostac przy jednej swojej bramce, czy bierzesz dwie pozostale. Jedna z nich jest pusta, ale to nie zmienia faktu ze zamiast jednej z trzech bierzemy dwie z trzech. Jesli bramek nie byloby 3 a 10 i po odslonieciu 8 prowadzacy zapytalby czy chcemy wybrac ta druga zaslonieta plus 8 juz odslonietych. Wiec przy zmianie decyzji mamy 90% szans. Gdy jest 100 bramek przy podtrzymaniu decyzji przegrywamy tylko w 1% przypadkow :) To ze pytanie jest po odslonieciu bramki a nie przed nie ma znaczenia :)

  3. I:
    April 6th, 2009 o 17:30

    Jesli chodzi o drugi przypadek to bledy w rozumowaniu najczesciej wynikaja z blednego wyluskania lub ignorowania informacji o tym czy zdarzenia sa zalezne/niezalezne. Czysto matematycznie, jesli zalozymy, ze nie wiemy czy dane zdarzenia sa zalezne lub niezalezne to przy wylosowaniu kilkadziesiat razy pod rzad tego samego koloru prawdopodobienstwo, ze zdarzenia sa zalezne jest wielokrotnie wieksze od prawdopodobienstwa, ze zdarzenia nie maja ze soba zadnego zwiazku. Jesli nie mamy zadnych informacji na temat zwiazkow miedzy zdarzeniami to na podstawie duzego prawdopodobienstwa uznajemy je za zalezne co powoduje, ze wystapienie kolejny raz tego samego koloru jest bardzo wysoko prawdopodobne.
    Kluczem do rozwiazania tego problemu jest ustalenie zwiazkow miedzy zdarzeniami losowymi, nawet jesli (w skrajnym przypadku) nie istnieja :)

  4. Pi:
    April 6th, 2009 o 19:12

    Niezwykle ciekawa notka, oby więcej takich ;)

  5. perfect:
    April 6th, 2009 o 21:46

    Druga sprawa dotyczy tak naprawdę błędneg zrozumienia nie prawdopodobieństwa, a konkretnego przypadku.

    1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucę 2 razy pod rząd orła?
    2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucę orła, jeśli już raz go wyrzuciłem.

    Teraz już takie mylące nie jest.

  6. Kos:
    April 7th, 2009 o 9:41

    Była taka fajna zagadka, ale nie pamiętam jej dokładnie. Mam nadzieję, że nic nie pomyliłem :) :

    Mam dwoje dzieci. Jedno z nich jest chłopcem. Jaka jest szansa, że mam dwóch synów?

  7. Xion:
    April 7th, 2009 o 12:13

    @Kamil: To, że pytanie jest po odsłonięciu bramki jak najbardziej ma znaczenie, bo – jak słusznie zauważyłeś – gdyby zostało zadane wcześniej, musiało by brzmieć: “Czy chcesz się zamienić na pozostałe bramki?”, aby efekt był ten sam :) Rzeczywiście można więc na to spojrzeć tak, że odsłonięcie bramki ukrywa to, o co naprawdę gracz jest pytany:

    @I: Zapewne to co mówisz o “prawdopodobnej zależności” zdarzeń dałoby się nawet ująć liczbowo. Rzecz w tym, że o ile hipoteza o zależności może być uprawniona, jeśli nic nie wiemy (i widzimy długi ciąg tych samych wyników próby), to w przypadku ww. przykładów doskonale wiadomo, że poszczególne próby są rzeczywiście niezależne. A poza tym druga możliwa hipoteza jest też taka, że prawdopodobieństwo tego konkretnego wyniku w pojedynczej próbie jest po prostu wysokie :)

    @Kos: Przy uwzględnieniu wiedzy w pytaniu i tylko jej: 50%.

  8. Aithne:
    April 7th, 2009 o 14:27

    @Xion (odpowiedź na koment Kosa): nieprawda. Nieco poniżej 50% (jakieś 49.2%).

  9. Liosan:
    April 8th, 2009 o 0:08

    “Jeśli w grze X potwór Y wyrzuca przedmiot Z z prawdopodobieństwem 1/n, to jak dużo potworów Y powinienem zabić, aby być prawie pewien, że wypadnie mi z nich przedmiot Z?”

    Tak, ale wartość oczekiwana ilości przedmiotów “Z” w moim ekwipunku po zabiciu n potworów Y wynosi 1, i to jest dość satysfakcjonujące, nie sądzisz? :)

  10. nexor:
    April 8th, 2009 o 2:51

    Nigdy tego za bardzo nie kumałem w szkole. Jestem pod wrażeniem tego co tutaj mówicie, bo od czasów szkolnych jak widzę nic się nie zmieniło, dalej nic nie rozumiem.

    Ale jeśli chodzi o pierwszy przypadek to pewnie w sytuacji jednej odsłoniętej bramki i dwóch nieodsłoniętych, starałbym się i tak obserwować grę słów pana Zygmunta, żeby stwierdzić jak bardzo zależy mu na mojej wygranej, żeby podsycić publiczność, czy mojej przegranej, żeby wzbudzić w nich nadzieję na ich własną wygraną i tutaj by trzeba było obliczyć prawdopodobieństwo czy jego gra słów ma mi pomóc wygrać czy przegrać.
    Zapewne po programie i tak próbowałby mi spylić proszek do prania.

  11. Xion:
    April 8th, 2009 o 17:48

    @Aithne: Tęsknie za wyjaśnieniem. Od razu zaznaczam, że kwestie takie jak wiedza o statystycznym rozkładzie płci w populacji się nie liczą, bo wyraźnie zaznaczyłem, że uwzględniamy wyłącznie informacje zawarte w samym zadaniu Kosa.

    @Liosan: Niestety wariancja wynosi wtedy (n-1)/n, czyli prawie 1, więc ta wartość oczekiwana ma duże szanse nie być doczekaną ;]

  12. Aithne:
    April 8th, 2009 o 19:56

    Jeśli patrzymy tylko na to, co napisał Kos, to nawet nie wiemy ile jest różnych płci :>

  13. Aithne:
    April 8th, 2009 o 19:59

    Argh. Znowu puściłam koment przed myśleniem. Ale niech ci będzie, w końcu kto się tam czepia w takich rzeczach o jakiś niecały procent

  14. I:
    April 8th, 2009 o 22:46

    “to w przypadku ww. przykładów doskonale wiadomo”
    Xion: wlasnie na tym polega blad, ze ignorujemy pewnie bardzo isotne informacje, gdyz wydaja sie nie miec wiekszej wagi. Niestety w rachunku prawdopodobienstwa jest tak, ze czasami nawet bardzo malo informacja moze drastycznie wplynac na wynik. Myslac intuicyjnie/podswiadomie (i malo scisle) czesto operujemy na bardziej ogolnych modelach, czyli takich ktore posiadaja pewien ubytek informacji (liczac na uzyskanie jakiegos przyblizenia).

    “A poza tym druga możliwa hipoteza…”
    tak, ten przypadek wraz z wymienionym wczesniej daja bardziej ogolna postac problemu, czyli to o czym pisalem wyzej — ignorowanie informacji np. takich ktore w jakis sposob modyfikuja prawdopodobienstwo jednego zdarzenia losowego.

  15. omg:
    July 24th, 2009 o 18:35

    Wszystko dla mnie jest jasne i oczywiste, jednak nie zgodzę się z przykładem ze smokami. Co to znaczy “prawie pewien”?

  16. Xion:
    July 25th, 2009 o 18:49

    “Prawie” jest tu użyte w znaczeniu potocznym (i bynajmniej nie tym z reklamy piwa ;]). Mówimy więc o małym marginesie błędu; jak sądzę, większość ludzi określiłaby przedział do 5% jako mały.

    Bardziej ścisłe sformułowanie pytania odnosiłoby się więc do ilości potworów, które trzeba zabić, by mieć przynajmniej 95% szansy, że wypadnie nam poszukiwany przedmiot.

  17. omg:
    July 26th, 2009 o 23:27

    Nie działa to, gdy smoków jest od 1 do 19.

  18. tata gienka:
    October 2nd, 2009 o 9:14

    nie ma żadnego paradoksu i matematycy nie mają z tym żadnego problemu. po za tym prawdopodobieństwo wcale nie wzrasta z 1/3 do 2/3 tylko maleje do 1/6.
    jest to tylko paradoks “wioskowego filozofa” który szanse trafienia rozpatruje w innym momencie niż zdarzenie…
    dalej też nie ma żadnego paradoksu – odsyłam do rozkładu prawdopodobieństwa i statystyki.

  19. Xion:
    April 25th, 2010 o 13:05

    Jeszcze odnośnie zagadki Kosa: jest w niej językowa nieścisłość, która wpływa na wynik. Jeśli traktujemy dzieci jako parę nieuporządkowaną, wynikiem jest istotnie 1/2, ale jeśli uporządkowaną – 1/3.

Comments are disabled.
 


© 2017 Karol Kuczmarski "Xion". Layout by Urszulka. Powered by WordPress with QuickLaTeX.com.